POLINOMIOS Y POLÍGONOS
I. Polinomios y áreas de polígonos
Ya sabes que los polinomios son expresiones algebraicas con letras (variables) y números (coeficientes). En ocasiones, los polinomios pueden representar alguna cantidad real. En esta unidad vamos a explorar la relación entre los polinomios y el área de figuras planas, en concreto de polígonos.
Observa los polígonos representados en la siguiente escena. La longitud de sus lados viene dada en función de la variable x. A partir de las longitudes de los lados, obtenemos la fórmula del área del polígono, que resulta ser un polinomio.
Como x representa una longitud, debe de tener alguna unidad de longitud (es decir, metros, centímetros, decímetros, kilómetros...). A lo largo de las siguientes actividades supondremos siempre que x viene dada en centímetros (cm). Por tanto, los polinomios que representan el área de los polígonos tendrán asociada una unidad de área, en este caso centímetros cuadrados (cm^2).
1.1) Copia en tu cuaderno el polígono de color negro, junto con la longitud de sus lados y el polinomio que nos da su área, y explica cómo se ha obtenido dicha área.
1.2) ¿Qué grado tienen todos los polinomios representados en la escena? ¿Crees que el área de un polígono podría representarse con un polinomio de grado 3? Si crees que sí, trata de dibujar un polígono cuya área tenga un término del tipo x^3. Si crees que no, explica la razón.
1.3) Dibuja en tu cuaderno un polígono cuya base sea fija, e igual a 3, y su altura variable, igual a x + 4. ¿Cuál sería el polinomio que representaría el área de ese polígono? ¿Qué grado tiene?
II. Valor numérico de un polinomio y área del polígono asociado.
En un polinomio, la variable x representa una cantidad desconocida, que puede tomar cualquier valor. Cuando escogemos un valor particular para x, obtenemos un valor también particular para el polinomio. Es lo que llamamos valor numérico de un polinomio.
Cuando el polinomio representa al área de un polígono, al dar un valor a x estamos dando valores a los lados del polígono, y por tanto el valor numérico del polinomio nos dirá cuánto vale el área de ese polígono concreto.
2.1) En la siguiente escena, varía el valor de x y observa cómo varía el valor numérico del polinomio. Se supone que la trama cuadrada sobre la que se dibuja el polígono tiene lados de longitud 1cm. ¿Por qué aumenta de tamaño del polígono, al aumentar x?
2.2) ¿Qué pasa cuando x vale 1cm? ¿Por qué x no puede valer menos de 1cm?
2.3) Si llamamos q(x) al polinomio que representa el área del polígono rosa de la primera escena, calcula q(1) y q(5). ¿Qué representan los valores que has obtenido? ¿Qué ocurre ahora si x vale 0cm?
2.4) La escena que sigue te propone un sencillo juego para calcular el área de los polígonos que aparecen, utilizando polinomios. Cuando hayas pinchado el botón animar, en la escena aparecerá el dibujo de un polígono, y la expresión del polinomio que representa su área. En la parte superior de la escena aparecerá el valor de x que se te propone (por ejm. x = 2.3). Tienes que obtener el valor numérico del polinomio para ese valor de x, y cuando lo tengas escribirlo en la casilla valor numérico, y darle a la tecla Intro del ordenador. Después vuelve a pinchar el botón animar : te contará si has o no acertado el valor, y te propondrá otro cálculo. Apunta en el cuaderno todos los cálculos que hagas.
2.5) Si has realizado bastantes cálculos, te habrás fijado que sólo hay tres polinomios distintos, cada uno asociado a un polígono, pero que el tamaño de los polígonos cambia a menudo. ¿A qué se debe ese cambio?
III. Construcción del polinomio asociado a un polígono
En las anteriores escenas has visto que el área de un polígono se puede asociar a un polinomio, y que el valor numérico del polinomio se corresponde con el valor del área del polígono de determinado tamaño. Vamos ahora a practicar otro aspecto: el de obtener el polinomio asociado a un polígono cualquiera. Para ello, lo más útil es dividir el polígono en regiones cuadradas, rectangulares o triangulares, y después sumar las áreas de cada zona.
3.1) Observa la siguiente escena, y comprueba que el polinomio asociado al polígono que en ella se representa es:
p(x) = 2x^2 + 4x + 4
3.2) Utiliza los controles rojo y azul de la casilla Área nº para que la escena te muestre otros polígonos subdivididos. Escribe en tu cuaderno el polinomio asociado al área de cada uno.
3.3) Dibuja en tu cuaderno la forma del polígono rojo y del rosa que aparecen en el juego de la escena anterior a ésta, junto con el polinomio asociado a cada uno. Explica cómo se obtiene el polinomio a partir de la figura, dividiéndola en fragmentos rectangulares.
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